标签搜索

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解)

冰封一夏
2021-09-29 00:22:52 / 168 阅读 / 正在检测是否收录...

(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解) 设 $f(x)$ 为 ${bf A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$bex rank g({bf A})=q,quad rank h({bf A})=p. eex$$

证明: 设 $$bex g(x)=prod_{i=1}^s (lm-lm_i)^{m_i},quad h(x)=bprod_{j=1}^t (lm-mu_j)^{n_j}, eex$$ 则 $$bex sum_{i=1}^s m_i=p,quad sum_{j=1}^tn_j=q. eex$$ 由 $(g,h)=1$ 知 $lm_ineq mu_j$. 又 $$bex f(x)=g(x)h(x)=abcdot prod_{i=1}^s (lm-lm_i)^{m_i}cdotprod_{j=1}^t (lm-mu_j)^{n_j} eex$$ 为 ${bf A}$ 的特征多项式, 而有直和分解 $$bex V=oplus_{i=1}^s V_ioplus oplus_{j=1}^t W_j, eex$$ 其中 $$bex V_i=sed{{bf x}in V;({bf A}-lm_i{bf E})^{m_i}{bf x}={bf 0}},quad W_j =sed{{bf x}in V;({bf A}-mu_j{bf E})^{n_j}{bf x}={bf 0}}, eex$$ 且 $dim V_i=m_i$, $dim W_j=n_j$ (可用 Jordan 标准型直接证明, 自己思考下). 为证题目, 仅须证明 $$bex oplus_{i=1}^s V_i=sed{h({bf A}){bf x}={bf 0};{bf x}in V},quad oplus_{j=1}^t W_j=sed{g({bf A}){bf x}={bf 0};{bf x}in V}, eex$$ 即知 $$bex rank h({bf A})=sum_{i=1}^s m_i=p,quad rank g({bf A})=sum_{j=1}^t n_j=q. eex$$ 不失一般性, 仅需证明 $$bex oplus_{i=1}^s V_i=sed{h({bf A}){bf x};{bf x}in V}equiv U eex$$ 如下: $$beex bea {bf x}in V_i&ra ({bf A}-lm_i{bf E})^{m_i}{bf x}={bf 0}\ &ra g({bf A}){bf x}={bf 0}\ &ra {bf x}=u({bf A})g({bf A}){bf x}+v({bf A})h({bf A}){bf x}=v({bf A})h({bf A}){bf x} =h({bf A})v({bf A}){bf x}in U\ &quadsex{exists u,v,st uf+vg=1};\ {bf x}in U&ra {bf x}=h({bf A}){bf y}\ &ra {bf x}=h({bf A})({bf v}_1+cdots+{bf v}_s+{bf w}_1+cdots+{bf w}_s)\ &quadquad,=h({bf A}){bf v}_1+cdots+h({bf A}){bf v}_sin oplus_{i=1}^s V_iquadsex{{bf v}_iin V_ira h({bf A}){bf v}_iin V_i}. eea eeex$$ 

 

9

评论

博主关闭了所有页面的评论